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부분적분 쉽게 하기 (tabular integration)

[미적분] 부분적분: 두 함수의 곱 적분; 로다삼지 : 네이버 블로그

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정의[편집]

예[편집]

같이 보기[편집]

각주[편집]

외부 링크[편집]

부분 적분 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전

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[적분] 16장 적분법 부분적분

[적분] 4 부분적분

[더플러스수학] 부분적분 1 – LIATE ‘tabular integration by parts’

키워드에 대한 정보 부분적 분 공식

사람들이 주제에 대해 자주 검색하는 키워드 부분적분 쉽게 하기 (tabular integration)

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미적분학에서 부분 적분(部分積分, 영어: integration by parts)은 두 함수의 곱을 적분하는 기법이다.[1][2][3][4][5]
정의 [ 편집 ]
만약 I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } 가 구간이며 u , v : I → R {\displaystyle u,v\colon I\to \mathbb {R} } 가 연속 미분 가능 함수라면 (도함수 u ′ , v ′ {\displaystyle u’,v’} 가 연속 함수라면), 다음이 성립한다.[2]
∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x = u ( x ) v ( x ) − ∫ u ′ ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle \int u(x)v'(x)\mathrm {d} x=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm {d} x}

이를 u ′ ( x ) d x = d u {\displaystyle u'(x)\mathrm {d} x=\mathrm {d} u} 및 v ′ ( x ) d x = d v {\displaystyle v'(x)\mathrm {d} x=\mathrm {d} v} 를 통해 간략히 쓰면 다음과 같다.

∫ u d v = u v − ∫ v d u {\displaystyle \int u\mathrm {d} v=uv-\int v\mathrm {d} u}

만약 u , v : [ a , b ] → R {\displaystyle u,v\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 가 연속 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.[2]
∫ a b u ( x ) v ′ ( x ) d x = [ u ( x ) v ( x ) ] a b − ∫ a b u ′ ( x ) v ( x ) d x = u ( b ) v ( b ) − u ( a ) v ( a ) − ∫ a b u ′ ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\mathrm {d} x&={\bigg [}u(x)v(x){\bigg ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm {d} x\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm {d} x\end{aligned}}}

증명 [ 편집 ]
곱의 법칙에 따라 다음이 성립한다.

u v ′ = ( u v ) ′ − u ′ v {\displaystyle uv’=(uv)’-u’v}

양변은 모두 연속 함수이므로 부정적분이 존재한다. 양변에 부정적분을 취하면 다음을 얻으므로 부정적분에 대한 명제가 성립한다.[3]
∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x = u ( x ) v ( x ) − ∫ u ′ ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle \int u(x)v'(x)\mathrm {d} x=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm {d} x}

또한 양변은 모두 적분 가능하며, 양변에 적분을 취하면 다음을 얻으므로 정적분의 경우가 성립한다.[2]
∫ a b u ( x ) v ′ ( x ) d x = [ u ( x ) v ( x ) ] a b − ∫ a b u ′ ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\mathrm {d} x={\bigg [}u(x)v(x){\bigg ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm {d} x}

LIATE 법칙 (또는 로.다.삼.지 법칙) [ 편집 ]
이 명제에서는 주어진 적분에서 u {\displaystyle u} 와 d v {\displaystyle \mathrm {d} v} 를 선택하는 방법을 밝히지는 않는데, 보통 도함수가 비교적 간단한 부분을 u {\displaystyle u} 로 두거나, 원함수가 비교적 간단한 부분을 v ′ {\displaystyle v’} 으로 두는 것이 좋다. 도함수가 자기 자신보다 단순한 정도에 따라, 두 함수 가운데 로그 함수, 역삼각 함수, 대수적 함수, 삼각 함수, 지수 함수에서 먼저 나오는 유형에 속하는 하나를 u {\displaystyle u} 로 삼는 법칙을 제시한 저자도 존재하며, 이러한 법칙을 함수 유형들의 첫자들을 따 LIATE 법칙(영어: LIATE rule)이라고 부른다. 즉 로그함수, 역삼각함수, 다항함수, 삼각함수, 지수함수 순으로 ‘왼쪽 방향’으로 갈수록 미분에 용이하며, ‘오른쪽 방향’으로 갈수록 적분에 용이하다는 것이다.[6] 그러나 이 법칙은 때로 옳지 않을 수 있다.

따름정리 [ 편집 ]
만약 I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } 가 구간이며 u , v : I → R {\displaystyle u,v\colon I\to \mathbb {R} } 가 n {\displaystyle n} 번 연속 미분 가능 함수라면 ( n {\displaystyle n} 계 도함수 u ( n ) , v ( n ) {\displaystyle u^{(n)},v^{(n)}} 이 연속 함수라면), 다음이 성립한다.[3]
∫ u ( x ) v ( n ) ( x ) d x = ∑ k = 0 n − 1 ( − 1 ) k u ( k ) ( x ) v ( n − 1 − k ) ( x ) + ( − 1 ) n ∫ u ( n ) ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle \int u(x)v^{(n)}(x)\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}u^{(k)}(x)v^{(n-1-k)}(x)+(-1)^{n}\int u^{(n)}(x)v(x)\mathrm {d} x}

이는 부분 적분을 반복하여 증명할 수 있다. 이러한 적분을 풀 때에는 보통 이 공식에 대입하는 대신 부분 적분을 직접 반복하거나 표를 사용한다.

예 [ 편집 ]
첫째 예 [ 편집 ]
부정적분

∫ x 2 ln ⁡ x d x {\displaystyle \int x^{2}\ln x\mathrm {d} x}

을 구하자. u = ln ⁡ x {\displaystyle u=\ln x} 이며 d v = x 2 d x {\displaystyle \mathrm {d} v=x^{2}\mathrm {d} x} 라고 하자. 그러면 d u = ( d x ) / x {\displaystyle \mathrm {d} u=(\mathrm {d} x)/x} 이며 (상수차를 무시하면) v = x 3 / 3 {\displaystyle v=x^{3}/3} 이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.[1]
∫ x 2 ln ⁡ x d x {\displaystyle \int x^{2}\ln x\mathrm {d} x} = x 3 3 ln ⁡ x − 1 3 ∫ x 2 d x {\displaystyle ={\frac {x^{3}}{3}}\ln x-{\frac {1}{3}}\int x^{2}\mathrm {d} x} = x 3 3 ln ⁡ x − 1 9 x 3 + C {\displaystyle ={\frac {x^{3}}{3}}\ln x-{\frac {1}{9}}x^{3}+C}

둘째 예 [ 편집 ]
부정적분

∫ arcsin ⁡ x d x {\displaystyle \int \arcsin x\mathrm {d} x}

를 구하자. u = arcsin ⁡ x {\displaystyle u=\arcsin x} 이며 d v = d x {\displaystyle \mathrm {d} v=\mathrm {d} x} 라고 하자. 그러면 d u = ( d x ) / 1 − x 2 {\displaystyle \mathrm {d} u=(\mathrm {d} x)/{\sqrt {1-x^{2}}}} 이며 v = x {\displaystyle v=x} 이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.[3]
∫ arcsin ⁡ x d x {\displaystyle \int \arcsin x\mathrm {d} x} = x arcsin ⁡ x − ∫ x 1 − x 2 d x {\displaystyle =x\arcsin x-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x} = x arcsin ⁡ x + 1 2 ∫ d ( 1 − x 2 ) 1 − x 2 {\displaystyle =x\arcsin x+{\frac {1}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} (1-x^{2})}{\sqrt {1-x^{2}}}}} = x arcsin ⁡ x + 1 − x 2 + C {\displaystyle =x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}

셋째 예 [ 편집 ]
부정적분

∫ x 2 sin ⁡ x d x {\displaystyle \int x^{2}\sin x\mathrm {d} x}

을 구하자. u = x 2 {\displaystyle u=x^{2}} 이며 d v = sin ⁡ x d x {\displaystyle \mathrm {d} v=\sin x\mathrm {d} x} 라고 하자. 그러면 d u = 2 x {\displaystyle \mathrm {d} u=2x} 이며 v = − cos ⁡ x {\displaystyle v=-\cos x} 이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

∫ x 2 sin ⁡ x d x = − x 2 cos ⁡ x + 2 ∫ x cos ⁡ x d x {\displaystyle \int x^{2}\sin x\mathrm {d} x=-x^{2}\cos x+2\int x\cos x\mathrm {d} x}

우변의 마지막 항의 적분에서 u = x {\displaystyle u=x} , d v = cos ⁡ x d x {\displaystyle \mathrm {d} v=\cos x\mathrm {d} x} , d u = d x {\displaystyle \mathrm {d} u=\mathrm {d} x} , v = sin ⁡ x {\displaystyle v=\sin x} 라고 하여 다시 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

∫ x cos ⁡ x d x {\displaystyle \int x\cos x\mathrm {d} x} = x sin ⁡ x − ∫ sin ⁡ x d x {\displaystyle =x\sin x-\int \sin x\mathrm {d} x} = x sin ⁡ x + cos ⁡ x + C {\displaystyle =x\sin x+\cos x+C}

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.[1]
∫ x 2 sin ⁡ x d x = − x 2 cos ⁡ x + 2 x sin ⁡ x + 2 cos ⁡ x + C {\displaystyle \int x^{2}\sin x\mathrm {d} x=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C}

넷째 예 [ 편집 ]
부정적분

∫ x 2 − 1 d x {\displaystyle \int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x}

을 구하자. u = x 2 − 1 {\displaystyle u={\sqrt {x^{2}-1}}} 이며 d v = d x {\displaystyle \mathrm {d} v=\mathrm {d} x} 라고 하자. 그러면 d u = ( x / x 2 − 1 ) d x {\displaystyle \mathrm {d} u=(x/{\sqrt {x^{2}-1}})\mathrm {d} x} 이며 v = x {\displaystyle v=x} 이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.[4]
∫ x 2 − 1 d x {\displaystyle \int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x} = x x 2 − 1 − ∫ x 2 x 2 − 1 d x {\displaystyle =x{\sqrt {x^{2}-1}}-\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}-1}}}\mathrm {d} x} = x x 2 − 1 − ∫ x 2 − 1 d x − ∫ d x x 2 − 1 {\displaystyle =x{\sqrt {x^{2}-1}}-\int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x-\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}-1}}}} = x x 2 − 1 − ln ⁡ | x + x 2 − 1 | − ∫ x 2 − 1 d x {\displaystyle =x{\sqrt {x^{2}-1}}-\ln |x+{\sqrt {x^{2}-1}}|-\int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x}

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.[4]
∫ x 2 − 1 d x = 1 2 x x 2 − 1 − 1 2 ln ⁡ | x + x 2 − 1 | + C {\displaystyle \int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}x{\sqrt {x^{2}-1}}-{\frac {1}{2}}\ln |x+{\sqrt {x^{2}-1}}|+C}

다섯째 예 [ 편집 ]
다음과 같은 두 적분을 구하자.

∫ e a x cos ⁡ b x d x {\displaystyle \int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x} ∫ e a x sin ⁡ b x d x {\displaystyle \int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x}

이 둘에 각각 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

∫ e a x cos ⁡ b x d x {\displaystyle \int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x} = 1 b ∫ e a x d ( sin ⁡ b x ) {\displaystyle ={\frac {1}{b}}\int e^{ax}\mathrm {d} (\sin bx)} = 1 b e a x sin ⁡ b x − a b ∫ e a x sin ⁡ b x d x {\displaystyle ={\frac {1}{b}}e^{ax}\sin bx-{\frac {a}{b}}\int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x}

∫ e a x sin ⁡ b x d x {\displaystyle \int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x} = − 1 b ∫ e a x d ( cos ⁡ b x ) {\displaystyle =-{\frac {1}{b}}\int e^{ax}\mathrm {d} (\cos bx)} = − 1 b e a x cos ⁡ b x + a b ∫ e a x cos ⁡ b x d x {\displaystyle =-{\frac {1}{b}}e^{ax}\cos bx+{\frac {a}{b}}\int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x}

즉, 다음과 같은 연립 방정식이 성립한다.

b ∫ e a x cos ⁡ b x d x + a ∫ e a x sin ⁡ b x d x = e a x sin ⁡ b x {\displaystyle b\int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x+a\int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x=e^{ax}\sin bx} a ∫ e a x cos ⁡ b x d x − b ∫ e a x sin ⁡ b x d x = e a x cos ⁡ b x {\displaystyle a\int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x-b\int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x=e^{ax}\cos bx}

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.[4]
∫ e a x cos ⁡ b x d x = 1 a 2 + b 2 e a x ( a cos ⁡ b x + b sin ⁡ b x ) + C {\displaystyle \int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)+C} ∫ e a x sin ⁡ b x d x = 1 a 2 + b 2 e a x ( a sin ⁡ b x − b cos ⁡ b x ) + C {\displaystyle \int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)+C}

여섯째 예 [ 편집 ]
다음과 같은 적분을 구하자.

∫ d x ( x 2 + a 2 ) 2 ( a > 0 ) {\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}\qquad (a>0)}

다음과 같은 부분 적분을 사용하자 (구하려는 적분에 직접 적용하지 않았음에 주의하자).

∫ d x x 2 + a 2 {\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}+a^{2}}}} = x x 2 + a 2 + 2 ∫ x 2 ( x 2 + a 2 ) 2 d x {\displaystyle ={\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}+2\int {\frac {x^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}\mathrm {d} x} = x x 2 + a 2 + 2 ∫ d x x 2 + a 2 − 2 a 2 ∫ d x ( x 2 + a 2 ) 2 {\displaystyle ={\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}+2\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}+a^{2}}}-2a^{2}\int {\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}}

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.[4]
∫ d f x ( x 2 + a 2 ) 2 {\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} fx}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}} = 1 2 a 2 x x 2 + a 2 + 1 2 a 2 ∫ d x x 2 + a 2 {\displaystyle ={\frac {1}{2a^{2}}}{\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}+{\frac {1}{2a^{2}}}\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}+a^{2}}}} = 1 2 a 2 x x 2 + a 2 + 1 2 a 3 arctan ⁡ x a + C {\displaystyle ={\frac {1}{2a^{2}}}{\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}+{\frac {1}{2a^{3}}}\arctan {\frac {x}{a}}+C}

같이 보기 [ 편집 ]
각주 [ 편집 ]
가 나 다 Larson, Ron; Edwards, Bruce (2013). 《Calculus: Early Transcendental Functions》 (영어) 6판. Boston, MA: Cengage Learning. ISBN 978-1-285-77477-0 . LCCN 2013949101. 가 나 다 라 Lax, Peter D.; Terrell, Maria Shea (2014). 《Calculus With Applications》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어) 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4614-7946-8. ISBN 978-1-4614-7945-1 . LCCN 2013946572. 가 나 다 라 Stewart, Seán M. (2018년 2월). 《How to Integrate It》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/9781108291507. ISBN 978-1-108-41881-2 . 가 나 다 라 마 伍胜健 (2009년 8월). 《数学分析. 第一册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15685-8 . ↑ 伍胜健 (2010년 2월). 《数学分析. 第二册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15876-0 . ↑ Kasube, Herbert E. (1983년 3월). “A Technique for Integration by Parts”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 90 (3): 210-211. doi:10.2307/2975556. ISSN 0002-9890. JSTOR 2975556.

부분적분 쉽게 하기 (Tabular Integration) 249 개의 베스트 답변 – de.taphoamini.com

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미적분학에서 부분 적분(部分積分, 영어: integration by parts)은 두 함수의 곱을 적분하는 기법 … “부분적분”. 《수학노트》. “Integration by parts”.

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부정적분의 부분적분에서 첨가되는 여러 적분상수들은 총합의 개념으로 마지막 결론 부분에서 간단히 C로 제시한다. 점화공식. □. 부분적분을 활용해 …

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Source: herald-lab.tistory.com

Date Published: 1/12/2022

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부분적분법 부정적분은 미분의 역작용이므로 모든 적분 공식과 계산 기법들은 미분 공식에서 파생된다. 부분적분 또한 곱의 미분법에서 출발한다.

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Source: lyssion-studynote.tistory.com

Date Published: 3/27/2022

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둘째, 기본 함수에 대한 적분법을 알고 있을 때, 합성함수의 미분법의 역과정인 치환적분법과 곱미분에서 유도된 부분적분법이 있다. 부분적분의 원리.

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Date Published: 7/26/2021

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가 나 다 Larson, Ron; Edwards, Bruce (2013). 《Calculus: Early Transcendental Functions》 (영어) 6판. Boston, MA: Cengage Learning. ISBN 978-1-285-77477-0 . LCCN 2013949101. 가 나 다 라 Lax, Peter D.; Terrell, Maria Shea (2014). 《Calculus With Applications》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어) 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4614-7946-8. ISBN 978-1-4614-7945-1 . LCCN 2013946572. 가 나 다 라 Stewart, Seán M. (2018년 2월). 《How to Integrate It》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/9781108291507. ISBN 978-1-108-41881-2 . 가 나 다 라 마 伍胜健 (2009년 8월). 《数学分析. 第一册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15685-8 . ↑ 伍胜健 (2010년 2월). 《数学分析. 第二册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15876-0 . ↑ Kasube, Herbert E. (1983년 3월). “A Technique for Integration by Parts”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 90 (3): 210-211. doi:10.2307/2975556. ISSN 0002-9890. JSTOR 2975556.

∫ e a x cos ⁡ b x d x = 1 a 2 + b 2 e a x ( a cos ⁡ b x + b sin ⁡ b x ) + C {\displaystyle \int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)+C} ∫ e a x sin ⁡ b x d x = 1 a 2 + b 2 e a x ( a sin ⁡ b x − b cos ⁡ b x ) + C {\displaystyle \int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)+C}

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적분하는 방법은 크게 두 가지로 나눌 수 있다.

첫째, 기본함수(다항함수를 포함하는 $ x^r $($ r $실수)꼴의 함수, 지수함수, 삼각함수, 로그함수)를 적분할 수 있다.

둘째, 기본 함수에 대한 적분법을 알고 있을 때, 합성함수의 미분법의 역과정인 치환적분법 과 곱미분에서 유도된 부분적분법 이 있다.

부분적분의 원리

여기서는 부분적분에 집중하겠다. 부분적분의 원리를 보이면서 이것의 확장된 형태인 “표에 의한 부분적분”-Tabular Integration by Parts)을 고찰하면서 다항한 함수에 적용해 보자.

먼저 부분적분법은 곱미분에서 출발한다.

$$ ( uv)’ =u’v+uv’ $$

$$ u’v= ( uv)’-uv’ $$

양변을 적분하면 적분은 (+), (-)연산에서는 분리할 수 있으므로

$$ \int u’v = \int ( uv)’-\int uv’ $$

$$ \int u’v = uv-\int uv’ $$

부분적분 : 함수를 쪼개라

부분적분법은 기본함수들이 곱해져 있는 함수를 적분하는데 유용하게 쓰인다. 그런데 학생들은 치환적분법과 많이 헷갈린다. 치환적분에서도 두 함수 혹은 세 함수들이 곱해져 있지만 부분적분과 달리 잘 보면은 어떤 함수의 도함수가 곱해져 있다. 이것을 찾았다면 곧바로 쉽게 치환적분을 할 수 있다. 그런데 부분적분에서는 두 함수가 곱해져 있지만 곱해진 함수가 어떤 함수의 도함수가 아니다. 이러한 조건에서 두 개 (혹은 세 개이상)의 함수를 서로 분리시켜서 적분할 수 있는 상황을 만드는데 부분적분을 사용한다. 그래서 부분적분의 영어 표현인 ‘integration by parts’에서 ‘by parts’가 의미하는 바가 두 함수를 쪼갠다는 의미이다.

예를 들어 보면

$ \int xe^{x^2} dx ,~ \int x e^x dx $

위의 두 적분을 생각해보자. 첫 번째 적분은 치환적분을, 두 번째 적분은 부분적분을 해야 한다. 왜냐하면 첫 번째 적분에서는 $ x^2 $의 도함수인 $ x $ ($ 2x $가 도함수이다. 곱해져 있는 숫자$ 2 $는 무시해도 된다.)가 곱해져 있기 때문에 치환적분을 해야 하고, 두 번째 적분에서는 $ x $, $ e^x $이 ‘자체미분’이 곱해져 있는 형태가 아니기 때문이다.

‘로다삼지’ ‘지삼다로’ ‘LIATE’

부분적분에서는 어떤 함수를 $ u’ $으로 어떤 함수를 $ v $로 놓아야 할까? 이것이 제일 중용하다. 그래서 ‘로다삼지’ 어떤 사람은 ‘지삼다로‘ 또, 외국에서는 ’ LIATE ‘로 학생들이 머리에 빨리 떠오르게 말을 만든다.

‘로다삼지’(로:log함수, 다:다항함수, 삼:삼각함수, 지: 지수함수), ‘지삼다로’는 ‘로다삼지’를 거꾸로 표현한 것이다. 또, 서양의 ‘LIATE’는

L : log함수,

I : ‘inverse trigonometric’ 역삼각함수,

A: ‘algebraic function’ 다항함수를 포함한 $ x^r $($ r $은 실수)꼴의 함수,

T: trigonometric 삼각함수,

E : exponential function 지수함수

$\displaystyle \begin{matrix} \bf미(v)~~~~~~적(u’)\\ \longleftarrow~~~~\longrightarrow\\ \bf로~~~다~~~삼~~~지\end{matrix} $

미국 대학과정 또는 우리 대학과정에서처럼 역삼각함수가 도입된다면 아래처럼 L I A T E 로 왼쪽에는 미분해서 없앨 함수를, 오른쪽은 적분할 함수로 놓고 부분적분을 한다.

$\displaystyle \begin{matrix} \bf 미(v)~~~~적(u’)\\ \longleftarrow~~~~\longrightarrow\\ \bf \mathrm{\textcolor {red}{L~~I~~A~~T~~E}}\end{matrix} $

두 함수를 쪼갤 때는 미분을 이용한다. 미분해서 없을 것을 $ v $로, 그 반대로 적분을 것을 $ u’ $로 놓는다.

예를 들어

$$ \int xe^x dx $$

$ x $를 $ v $로, $ e^x $를 $ u’ $로 놓으면 $v’=1,~u=e^x$이므로

$$ \int u’v = uv-\int uv’ $$

에서

$$ \begin{align} \int xe^x dx&=xe^x -\int 1\times e^x dx \\ &=xe^x -e^x +C \end{align}$$

이다.

여기서 고민은 예를 들어 $\int x^2 e^x dx$의 경우는 부분적분을 두번 해야 한다는 점이다. 이것이 표에 의한 부분적분이 나오게 되는 이유이다. 즉

$$\int x^2 e^x$$

에서 $v=x^2 ,~u’=e^x$으로 놓으면 $v’=2x,~u=e^x$이므로

$$ \begin{align} \int x^2 e^x =x^2 e^x – \int 2xe^x dx \end{align}$$

또, 여기서 $v=2,~u’=e^x$로 놓으면 $v’=2,~u=e^x$에서

$$ \begin{align} \int x^2 e^x dx &=x^2 e^x – \int 2xe^x dx \\&= x^2 e^x -\left( 2xe^x -\int 2e^x dx \right)\end{align}$$

또, $v=2,~u’=e^x$로 놓고 $v’=0,~u=e^x$이므로

$$ \begin{align} \int x^2 e^x dx &=x^2 e^x – \int 2xe^x dx \\&= x^2 e^x -\left( 2xe^x -\int 2e^x dx \right)\\&= x^2 e^x -\left \{2xe^x – \left( 2e^x -\int 0\times e^x dx \right)\right\}\\&=x^2 e^x -2xe^x +2e^x +\int 0dx \\&= x^2 e^x -2xe^x +2e^x +C\end{align}$$

이렇게 부분적분을 계속하는 과정을 표로 만들어서 적분을 한 것이 표에 의한 적분 – ‘Tabular integration by parts’-이다. 즉,

\begin{array}{cccc} 미(v) & & 적(u’) \\ x^2 & &e^x\\ &\searrow &\\ 2x &&e^x \\&\searrow& \\ 2&&e^x \\ &\searrow&\\0& \rightarrow &e^x \end{array}

하나 더 하자. $\int x^2 \cos 2x dx$에서 두 함수 $x^2 ,~ \cos2x $는 합성함수의 미분법에서 나오는 ‘자체미분’ 이 없는 그냥 기본 함수의 곱이므로 부분적분을 해야한다. 또 $x^2$이 있으므로 두번 미분해서 ‘$x^2$’을 제거해야 하므로 부분적분을 두 번해야 한다. 그런데 위의 표에 의한 적분을 하면 이 과정을 한꺼번에 할 수 있다.

\begin{array}{cccc} \hline 미(v) & & 적(u’) \\\hline x^2 & &\cos 2x\\ &\searrow &\\ 2x &&\frac{1}{2} \sin2x \\&\searrow& \\ 2&&-\frac{1}{4} \cos2x \\ &\searrow&\\ 0& \rightarrow &-\frac{1}{8} \sin2x \\ \end{array}

에서

$$\begin{align} \int x^2 \cos 2x dx& = x^2 \times \left(\frac{1}{2} \sin2x \right) \textcolor{red}{\bf{-}} 2x \times \left( – \frac{1}{4} \cos2x \right) \\&\textcolor{red}{\bf{+}} 2 \times \left (- \frac{1}{8}\sin2x \right) +C \end{align}$$

이다. 여기서 중요한 것은 위의 예의 빨간색 글처럼 $\textcolor{red}{\bf{+,-,+,\cdots}}$반복된다는 것이다.

다음회에는 표에 의한 부분적분을 이용하여 부분적분하는 예들을 찾아 적분해 보겠습니다.

부분적분의 활용으로

이차함수와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이 구하는 공식 유도

https://plusthemath.tistory.com/229

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[적분] 4. 부분적분

부분적분법

부정적분은 미분의 역작용이므로 모든 적분 공식과 계산 기법들은 미분 공식에서 파생된다. 부분적분 또한 곱의 미분법에서 출발한다. 미분가능한 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대해

$$ \{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\Longrightarrow f'(x)g(x)=\{f(x)g(x)\}’-f(x)g'(x) $$

양변을 $x$에 대해 부정적분하면

$$ \int_{}{}f'(x)g(x)\, dx=\int_{}{}\{f(x)g(x)\}’\, dx-\int_{}{}f(x)g'(x)\, dx=f(x)g(x)-\int_{}{}f(x)g'(x)\, dx $$

부분적분을 통해 적분 시에 단순한 형태가 되는 함수와 미분 시에 단순한 형태가 되는 함수의 곱으로 이루어진 함수를 쉽게 적분할 수 있다. 이렇듯 부분적분의 본질적 의미는 원하는 함수의 차수를 높이거나 낮출 수 있다는 것에 있다.

부분적분을 이용한 적분 계산

부분적분은 특히 다항함수$\times$초월함수 형태나 초월함수$\times$초월한수 형태의 함수를 적분하는 데 많이 사용된다.

다항함수$\times$지수함수 꼴

다항함수를 $g(x)$, 지수함수를 $f(x)$로 놓고 위의 부분적분 공식 그대로 계산하면 된다.

$\int_{}{}xe^x\, dx$ 의 경우

$$ \int_{}{}xe^x\, dx=xe^x-\int_{}{}e^x\, dx=xe^x-e^x=(x-1)e^x+C $$

$\int_{}{}x^2e^x\, dx$ 의 경우

$$ \int_{}{}x^2e^x\, dx=x^2e^x-\int_{}{}2xe^x\, dx=x^2e^x-2\{ (x-1)e^x\}=(x^2-2x+2)e^x+C $$

다향함수$\times$삼각함수 꼴

다항함수를 $g(x)$, 삼각함수를 $f(x)$로 놓고 위의 부분적분 공식 그대로 계산하면 된다.

$\int_{}{}x\sin x\, dx$ 의 경우

$$ \int_{}{}x\sin x\, dx=-x\cos x+\int_{}{}\cos x\, dx=-x\cos x+\sin x+C $$

지수함수$\times$삼각함수 꼴

삼각함수를 $g(x)$, 지수함수를 $f(x)$로 놓고 위의 부분적분 공식 그대로 계산하면 된다.

$\int_{}{}e^x\sin x\, dx$ 의 경우

$$ \int_{}{}e^x\sin x\, dx=e^x\sin x-\int_{}{}e^x\cos x\, dx=e^x\sin x+e^x\cos x-\int_{}{}e^x\sin x\, dx $$

$$ 2\times\int_{}{}e^x\sin x\, dx=e^x\left(\sin x+\cos x\right)\Longrightarrow\int_{}{}e^x\sin x\, dx=\frac{e^x}{2}\left(\sin x+\cos x\right) +C $$

다항함수$\times$로그함수 꼴

로그함수를 $g(x)$, 다항함수를 $f(x)$로 놓고 위의 부분적분 공식 그대로 계산하면 된다.

$\int_{}{}\ln x\, dx$ 의 경우

$$ \int_{}{}\ln x\, dx=\int_{}{}(x)’\ln x\, dx=x\ln x-\int_{}{}\frac{x}{x}\, dx=x\ln x-x+C $$

$\int_{}{}x^r\ln x\, dx$ 의 경우

$$ \int_{}{}x^r\ln x\, dx=\frac{1}{1+r}x^{1+r}\ln x-\int_{}{}\frac{x^{1+r}}{(1+r)}\frac{1}{x}\, dx=\frac{x^{1+r}}{1+r}\ln x-\int_{}{}\frac{x^r}{1+r}\, dx=\frac{x^{1+r}}{1+r}\ln x-\frac{x^{1+r}}{(1+r)^2}+C $$

적분

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